La sezione aurea
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Dicesi parte aurea o sezione aurea di un segmento la parte di esso
che è media proporzionale tra l'intero segmento e la parte restante.

.. _sezioneaurea:

.. figure:: images/SezioneAurea.png
   
   La sezione aurea del segmento :math:`\overline{AB}`


Graficamente, dato un segmento :math:`\overline{AB}` 
(:numref:`sezioneaurea`), 
dobbiamo fissare un punto 
intermedio X, in modo da poter imporre la relazione:

.. math:: \overline{AB} : \overline{AX} = \overline{AX} : \overline{BX}

Per semplificarci la vita assumiamo un arbitrario sistema di 
riferimento per il quale il segmento :math:`\overline{BX}` sia pari alla 
lunghezza unitaria e poniamo il segmento :math:`\overline{AX}` pari ad 
:math:`x`, con :math:`x`, per le assunzioni fatte, chiaramente maggiore 
di 1. 
Di conseguenza il segmento :math:`\overline{AB}` risulta
pari a x + 1. La precedente proporzione può quindi essere riscritta
come segue:

.. math:: \left( x+1 \right) : x = x : 1

dalla quale, ricordando che il prodotto dei medi è uguale al prodotto 
degli estremi, ricaviamo:

.. math:: x^2 = x +1
   :label: first_eq
   
ovvero:

.. math:: x^2 - x - 1= 0
   :label: norm_eq

che è un'equazione di secondo grado.

  *Qui il nonno Enzo si lancia in qualche virtuosismo algebrico per 
  consentire di seguire anche a chi, evenutalmente, non ricordasse 
  la formula per risolvere l'equazione di secondo grado:*

  .. math:: ax^2 +bx +c = 0

  *ovvero la formula:*
  
  .. math:: x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
  
  *che noi invece ricordiamo perfettamente.* :math:`\smile`
  
In ogni caso, la soluzione dell'equazione :math:numref:`norm_eq` risulta:

.. math:: x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

Notato infine che :math:`x` è un numero necessariamente positivo in quanto 
esprime la misura della lunghezza del segmento :math:`\overline{AX}`, 
dei due risultati, l'uno positivo e l'altro negativo, va scartato quello 
negativo; si ottiene quindi:

.. math:: x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.61803398874...

Il rapporto tra un segmento e la sua sezione aurea risulta così
espresso da un numero reale, aperiodico ed illimitato, ovvero 
irrazionale; un segmento e la sua sezione aurea, così come la 
diagonale ed il lato di un quadrato o ancora la circonferenza ed il 
diametro di un cerchio, sono, quindi, incommensurabili.

Lo stesso rapporto, detto anche media ragione, divina proporzione, 
numero aureo o rapporto aureo, è normalmente indicato con la let­tera 
greca :math:`\varphi` (phi):

.. math:: \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.61803398874...


in onore di Fidia (scultore dell'antica Grecia), nelle cui opere, 
parti­colarmente armoniche, sarebbe stato appunto utilizzato.