Altre caratteristiche del numero aureo
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Abbiamo ricavato il valore di :math:`\varphi` utilizzando l'equazione
:math:numref:`first_eq`
che qui riscriviamo:

.. math:: x^2 = x +1

Ciò ci autorizza a scrivere:

.. math:: \varphi^2 = \varphi + 1  \quad \text{e } \quad \frac{1}{\varphi} = \varphi -1 


Da tali relazioni ricaviamo che sommando e sottraendo l'unità al 
numero aureo si ottiene rispettivamente il suo quadrato ed il suo 
reciproco e che il numero aureo, il suo quadrato ed il suo reciproco 
hanno le stesse infinite cifre decimali. Tali peculiarità, 
un'esclusiva del numero aureo, vengono esemplificate nella tabella che 
segue.

+---------------------------------+----------------------------------------+---------------------------------------+
| :math:`\varphi^2 = \varphi + 1` | :math:`\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}` | :math:`\frac{1}{\varphi} = \varphi -1`|
+=================================+========================================+=======================================+
| 2.6180339887...                 | 1.6180339887...                        | 0.6180339887...                       | 
+---------------------------------+----------------------------------------+---------------------------------------+

Il valore di :math:`\varphi` può essere ancora calcolato, con 
approssimazione via via migliore,anche mediante le seguenti due 
espressioni che utiliz­zano, la prima, radici quadrate succedentesi 
indefinitamente e, la seconda, il metodo delle frazioni continue, 
anch'esso indefinito:

.. math:: \varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots }}}}}


.. math:: \varphi = 1+ \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \dots}}}

Più semplicemente, nel primo caso quadrando primo e secondo membro si ottiene:

.. math:: \varphi^2 = 1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots }}}}

dove il secondo addendo del secondo membro è pari per definizio­ne a 
:math:`\varphi`, per cui ci riconduciamo alla nota relazione:

.. math:: \varphi^2 = \varphi + 1

Nel secondo caso,notando che il denominatore della frazione indefi­nita 
a secondo membro è anche questa volta per definizione pari a 
:math:`\varphi`, possiamo scrivere:

.. math:: \varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}

e, quindi, ancora

.. math:: \varphi^2 = \varphi + 1

Anche le potenze di :math:`\varphi` costituiscono una sorpresa. 
Infatti esprimen­do la terza potenza come il prodotto tra la prima e 
la seconda, la quarta come il prodotto tra la prima e la terza e 
così via, avremo:

.. math:: \varphi^2 &= \varphi + 1 \\
       \varphi^3 &= \varphi \cdot \varphi^2 = 
       \varphi \cdot  (\varphi + 1) = 
       \varphi^2 + \varphi =
       2\varphi + 1 \\
       \varphi^4 &= \varphi \cdot \varphi^3 = 
       \varphi \cdot (\varphi^2 + \varphi) =
       \varphi^3 + \varphi^2=
       2\varphi^2 + 1 + \varphi + 1 =
       3\varphi + 1  \\
       \varphi^5 &= \varphi^4 + \varphi^3 = 5\varphi + 3 \\
       \varphi^6 &= \varphi^5 + \varphi^4 = 8\varphi + 5 \\
       \varphi^7 &= \varphi^6 + \varphi^5 = 13\varphi + 8 \\       
       \varphi^8 &= \varphi^7 + \varphi^6 = 21\varphi + 13
     
Emerge quindi chiaramente che, allo stesso tempo, abbiamo :

.. math::  \varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2} 

e:

.. math::  \varphi^n = F_n \varphi + F_{n-1}

Dove :math:`F_n` è l'ennesimo numero di Fibonacci!
E così fu che ci ritrovammo catapultati, non già nel mondo delle 
meraviglie di Alice, bensì, più banalmente, nella stia dei conigli 
di messer Fibonacci!