Postfazione - mio riassunto
Qualche settimana dopo che te ne sei andato, ho (ri)letto questo tuo divertissement, e ho anche ribattuto i conti. Avevi ragione, la cosa è estremamente affascinante. Voglio qui riassumere i punti che mi sono piaciuti di più.
Partiamo dalla successione di Fibonacci:
Ok ok … la definizione tradizionale non partiva da 0 ma da 1:
e tu la preferivi, ma io sono più nouvelle vague :-)
La successione è:
e, come si può trovare facilmente ovunque, nasce dai ragionamenti di Leonardo Pisano, detto il Fibonacci, sulla riproduzione dei conigli.
Parliamo ora, invece, del rapporto aureo, ovvero del modo di dividere un segmento in due parti, \(a\) e \(b\), tali che:
ovvero che il rapporto tra la parte più grande e la parte più piccola sia pari al rapporto tra l’intero segmento e la parte più grande.
Detto \(\varphi\), dall’iniziale di Fidia, tale rapporto, possiamo scrivere:
Ovvero:
che è l’equazione algebrica di secondo grado \(\varphi^2 - \varphi -1 = 0\) che ammette come soluzione positiva (l’unica che ci interessa):
Iterando la \(\varphi^2 = \varphi +1\) è possibile calcolare le potenze di \(\varphi\). Con un po' di calcoli e con una certa meraviglia, si scopre che:
e che
Un pochino più complessa risulta la dimostrazione dell’altrettanto affascinante formula di Binet:
che, per \(n\) grande, si può approssimare con:
Ultimo punto che vorrei far notare è che:
Per tutte le altre cose che si possono dire su questo tema, rimando alla tua incursione!
Mario