L’angolo aureo

Così come per il generico segmento, possiamo suddividere un qual­siasi angolo \(\alpha\) in due parti, \(\beta\) e \(\gamma\), in modo che una delle due parti, ad esempio \(\beta\), sia media proporzionale tra l’intero angolo \(\alpha\) e l’an­golo restante \(\gamma\). Analiticamente, posto \(\beta\) > \(\gamma\) ed \(\alpha\) = \(\beta\) + \(\gamma\), avremo:

\[\alpha : \beta = \beta : \gamma\]

Forti della precedente esperienza, possiamo quindi scrivere:

\[\beta = \frac{\alpha}{\varphi} \quad \gamma = \frac{\alpha}{\varphi^2}\]

Nel caso particolare di \(\alpha\) pari all’angolo giro (\(360^{\circ}\) ovvero \(2 \pi\) radian­ti), i valori di \(\beta\) e \(\gamma\), rispettivamente in gradi e radianti, risultano pari a:

\[\beta \approx \mp 222.5^{\circ} = \mp \frac{89 \pi}{72} rad\]

\[\gamma \approx \mp 137.5^{\circ} = \mp \frac{55 \pi}{72} rad\]

dove il segno \(\mp\) indica il verso, orario o antiorario, nel quale si misu­ra l’angolo, per cui, essendo \(\beta + \gamma = 360^{\circ}\), si ha che \(–222,5^{\circ} = +137,5^{\circ}\) e \(+222,5^{\circ} = -137,5^{\circ}\).

È appena il caso di notare come i valori in radianti di :math:beta` e \(\gamma\), a meno del fattore \(\frac{\pi}{72}\), siano espressi mediante due numeri consecutivi (55 e 89) della successione di Fibonacci; né poteva essere diversa­mente. Comunque il minore di detti valori - pari a \(137,5^{\circ}\) - è assurto a livello di angolo aureo.