La sezione aurea

Dicesi parte aurea o sezione aurea di un segmento la parte di esso che è media proporzionale tra l’intero segmento e la parte restante.

Fig. 1 La sezione aurea del segmento \(\overline{AB}\)

Graficamente, dato un segmento \(\overline{AB}\) (Fig. 1), dobbiamo fissare un punto intermedio X, in modo da poter imporre la relazione:

\[\overline{AB} : \overline{AX} = \overline{AX} : \overline{BX}\]

Per semplificarci la vita assumiamo un arbitrario sistema di riferimento per il quale il segmento \(\overline{BX}\) sia pari alla lunghezza unitaria e poniamo il segmento \(\overline{AX}\) pari ad \(x\), con \(x\), per le assunzioni fatte, chiaramente maggiore di 1. Di conseguenza il segmento \(\overline{AB}\) risulta pari a x + 1. La precedente proporzione può quindi essere riscritta come segue:

\[\left( x+1 \right) : x = x : 1\]

dalla quale, ricordando che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, ricaviamo:

(1)\[x^2 = x +1\]

ovvero:

(2)\[x^2 - x - 1= 0\]

che è un’equazione di secondo grado.

Qui il nonno Enzo si lancia in qualche virtuosismo algebrico per consentire di seguire anche a chi, evenutalmente, non ricordasse la formula per risolvere l’equazione di secondo grado:

\[ax^2 +bx +c = 0\]

ovvero la formula:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

che noi invece ricordiamo perfettamente. \(\smile\)

In ogni caso, la soluzione dell’equazione (2) risulta:

\[x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\]

Notato infine che \(x\) è un numero necessariamente positivo in quanto esprime la misura della lunghezza del segmento \(\overline{AX}\), dei due risultati, l’uno positivo e l’altro negativo, va scartato quello negativo; si ottiene quindi:

\[x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.61803398874...\]

Il rapporto tra un segmento e la sua sezione aurea risulta così espresso da un numero reale, aperiodico ed illimitato, ovvero irrazionale; un segmento e la sua sezione aurea, così come la diagonale ed il lato di un quadrato o ancora la circonferenza ed il diametro di un cerchio, sono, quindi, incommensurabili.

Lo stesso rapporto, detto anche media ragione, divina proporzione, numero aureo o rapporto aureo, è normalmente indicato con la let­tera greca \(\varphi\) (phi):

\[\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.61803398874...\]

in onore di Fidia (scultore dell’antica Grecia), nelle cui opere, parti­colarmente armoniche, sarebbe stato appunto utilizzato.