Altre caratteristiche del numero aureo

Abbiamo ricavato il valore di \(\varphi\) utilizzando l’equazione (1) che qui riscriviamo:

\[x^2 = x +1\]

Ciò ci autorizza a scrivere:

\[\varphi^2 = \varphi + 1 \quad \text{e } \quad \frac{1}{\varphi} = \varphi -1\]

Da tali relazioni ricaviamo che sommando e sottraendo l’unità al numero aureo si ottiene rispettivamente il suo quadrato ed il suo reciproco e che il numero aureo, il suo quadrato ed il suo reciproco hanno le stesse infinite cifre decimali. Tali peculiarità, un’esclusiva del numero aureo, vengono esemplificate nella tabella che segue.

\(\varphi^2 = \varphi + 1\)	\(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\)	\(\frac{1}{\varphi} = \varphi -1\)
2.6180339887…	1.6180339887…	0.6180339887…

Il valore di \(\varphi\) può essere ancora calcolato, con approssimazione via via migliore,anche mediante le seguenti due espressioni che utiliz­zano, la prima, radici quadrate succedentesi indefinitamente e, la seconda, il metodo delle frazioni continue, anch’esso indefinito:

\[\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots }}}}}\]

\[\varphi = 1+ \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \dots}}}\]

Più semplicemente, nel primo caso quadrando primo e secondo membro si ottiene:

\[\varphi^2 = 1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots }}}}\]

dove il secondo addendo del secondo membro è pari per definizio­ne a \(\varphi\), per cui ci riconduciamo alla nota relazione:

\[\varphi^2 = \varphi + 1\]

Nel secondo caso,notando che il denominatore della frazione indefi­nita a secondo membro è anche questa volta per definizione pari a \(\varphi\), possiamo scrivere:

\[\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}\]

e, quindi, ancora

\[\varphi^2 = \varphi + 1\]

Anche le potenze di \(\varphi\) costituiscono una sorpresa. Infatti esprimen­do la terza potenza come il prodotto tra la prima e la seconda, la quarta come il prodotto tra la prima e la terza e così via, avremo:

\[\begin{split}\varphi^2 &= \varphi + 1 \\ \varphi^3 &= \varphi \cdot \varphi^2 = \varphi \cdot (\varphi + 1) = \varphi^2 + \varphi = 2\varphi + 1 \\ \varphi^4 &= \varphi \cdot \varphi^3 = \varphi \cdot (\varphi^2 + \varphi) = \varphi^3 + \varphi^2= 2\varphi^2 + 1 + \varphi + 1 = 3\varphi + 1 \\ \varphi^5 &= \varphi^4 + \varphi^3 = 5\varphi + 3 \\ \varphi^6 &= \varphi^5 + \varphi^4 = 8\varphi + 5 \\ \varphi^7 &= \varphi^6 + \varphi^5 = 13\varphi + 8 \\ \varphi^8 &= \varphi^7 + \varphi^6 = 21\varphi + 13\end{split}\]

Emerge quindi chiaramente che, allo stesso tempo, abbiamo :

\[\varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2}\]

e:

\[\varphi^n = F_n \varphi + F_{n-1}\]

Dove \(F_n\) è l’ennesimo numero di Fibonacci! E così fu che ci ritrovammo catapultati, non già nel mondo delle meraviglie di Alice, bensì, più banalmente, nella stia dei conigli di messer Fibonacci!